Як розв’язати неповне квадратне рівняння: покрокове пояснення з прикладами

Квадратні рівняння — одна з найважливіших тем у шкільному курсі алгебри. Їх вивчають учні 8–9 класів, а знання методів розв’язання часто потрібне й у старших класах або при підготовці до ЗНО. Серед усіх типів таких рівнянь особливе місце займає неповне квадратне рівняння. Воно вирізняється простішою структурою та може бути розв’язане швидше, ніж повне. У цій статті розглянемо, як розв’язувати неповні квадратні рівняння, які бувають випадки, як виглядає його загальний вигляд, формули для обчислення коренів і наведемо зрозумілі приклади.

Що таке неповне квадратне рівняння

Неповне квадратне рівняння — це рівняння виду ax² + bx + c = 0, у якому один або два коефіцієнти (b або c) дорівнюють нулю. Тобто, воно може мати вигляд:

1. ax² + bx = 0
2. ax² + c = 0
3. ax² = 0

Неповні квадратні рівняння легше розв’язувати, оскільки для них не завжди потрібна повна квадратна формула. Розглянемо кожен випадок детально.

Як виглядає рівняння виду ax² + bx = 0

Це найпоширеніший тип неповного квадратного рівняння. Його можна спростити, винісши x за дужки:

ax² + bx = 0
x(ax + b) = 0

Тут ми бачимо, що рівняння дорівнює нулю, коли хоча б один з множників дорівнює нулю. Тобто:

• x = 0
• ax + b = 0 → x = -b/a

Приклад:

Розв’язати рівняння: 3x² – 6x = 0

Розв’язок:

x(3x – 6) = 0
Отже:
x = 0 або 3x – 6 = 0 → x = 2

Відповідь: x = 0, x = 2

Як розв’язувати рівняння виду ax² + c = 0

У цьому випадку коефіцієнт b відсутній. Схема розв’язання проста:

ax² + c = 0 → ax² = -c → x² = -c/a

Після цього слід знайти корінь з обох боків:

x = ±√(-c/a)

Приклад:

Розв’язати рівняння: 2x² – 8 = 0

Розв’язок:

2x² = 8 → x² = 4 → x = ±2

Відповідь: x = 2, x = -2

Якщо значення під коренем від’ємне, то дійсних розв’язків немає (але є комплексні).

Приклад з від’ємним дискримінантом:

x² + 9 = 0 → x² = -9 → немає дійсних розв’язків

Як вирішити рівняння виду ax² = 0

Це найпростіший варіант. Рівняння має тільки один розв’язок:

ax² = 0 → x² = 0 → x = 0

Приклад:

7x² = 0 → x = 0

Як знайти розв’язки неповного квадратного рівняння: короткий алгоритм

Щоб легко орієнтуватися в задачах, дотримуйтесь такого алгоритму:

1. Визначте, як виглядає ваше рівняння (які коефіцієнти відсутні).
2. Якщо рівняння має вигляд ax² + bx = 0, винесіть x за дужки.
3. Якщо ax² + c = 0, перенесіть c вправо та поділіть на a.
4. Якщо ax² = 0, то розв’язок завжди x = 0.
5. Застосуйте відповідну формулу або арифметичні дії.
6. Обов’язково перевірте розв’язки підстановкою в оригінальне рівняння.

Поширені помилки під час розв’язування

• Ігнорування другого розв’язку при добутку: x(ax + b) = 0 має два корені.
• Забування про знак ± при добуванні квадратного кореня.
• Неврахування випадку з від’ємним значенням під коренем.

Для чого потрібне знання неповних квадратних рівнянь

Неповні квадратні рівняння часто зустрічаються:

• У фізичних задачах (рух тіла, прискорення)
• В економіці (максимізація прибутку)
• В інформатиці (розв’язання алгоритмів)

Тому варто навчитися знаходити його розв’язки швидко і впевнено.

Висновки

Розв’язання неповного квадратного рівняння — це не складно, якщо знати структуру рівняння та правильний підхід. Застосування простих формул і логічного мислення допоможе вам отримати правильні відповіді без зайвих зусиль. Використовуйте приклади та тренуйтеся, і ви легко навчитеся вирішувати ці рівняння на практиці.