Какая формула площади треугольника: полный обзор всех способов

Вычисление площади треугольника — одна из базовых тем в геометрии, которая имеет практическое применение в архитектуре, строительстве, черчении, инженерии и образовании. Существует несколько способов найти площадь в зависимости от известных элементов фигуры. Наиболее универсальная формула площади треугольника поможет рассчитать площадь как простого, так и сложного треугольника — равнобедренного, прямоугольного, равностороннего или произвольного.

Площадь треугольника по трём сторонам: формула Герона

Когда известны все три стороны, площадь можно найти по формуле Герона:

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),
где a, b, c — стороны треугольника,
p — полупериметр: (a + b + c) / 2.

Этот метод универсален и подходит для любого типа треугольника, включая вычисление площади по трём сторонам и радиусу описанной окружности, если известен радиус (об этом ниже).

Формула площади равнобедренного треугольника

У равнобедренного треугольника две стороны равны. Если известны основание a и высота h, проведённая к основанию, то:

S = (a × h) / 2

Этот способ подходит и для равностороннего треугольника, если провести высоту из любой вершины.

Площадь через высоту и основание

Самый простой и наглядный метод:

S = (основание × высота) / 2

Это школьная формула, удобная, когда легко измерить или найти высоту, особенно для прямоугольного или равнобедренного треугольника.

Площадь равностороннего треугольника

Для равностороннего треугольника со стороной a площадь рассчитывается так:

S = (a² × √3) / 4

Поскольку все стороны и углы одинаковые, эта формула выведена на основе свойств правильного треугольника.

Площадь треугольника через радиус вписанной окружности

Если известен радиус r вписанной окружности и полупериметр p, тогда:

S = p × r

Эта формула хорошо работает в задачах, где треугольники решаются через соотношения внутренних отрезков.

Формула площади по двум сторонам и углу между ними

Если известны две стороны a и b и угол γ между ними:

S = (a × b × sin(γ)) / 2

Этот способ полезен в тригонометрии или когда невозможно определить третью сторону.

Площадь через радиус описанной окружности

Если заданы стороны a, b, c и радиус описанной окружности R, используется:

S = (a × b × c) / (4 × R)

Это один из наименее интуитивных методов, но очень эффективный в задачах высшей геометрии.

Площадь прямоугольного треугольника

Так как прямой угол образует два катета, площадь вычисляется через них:

S = (a × b) / 2

где a и b — катеты. Формула проста и часто используется в практических задачах.

Площадь по трём сторонам и радиусу описанной окружности

Если известны все три стороны и радиус описанной окружности, удобно использовать такую зависимость:

S = (abc) / (4R)

Формула совпадает с предыдущей для описанной окружности и требует минимум вычислений, если известны все значения.

Площадь треугольника по координатам вершин

Когда заданы координаты трёх точек (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3):

S = ½ × |x1(y2 − y3) + x2(y3 − y1) + x3(y1 − y2)|

Этот способ часто применяется в аналитической геометрии или при работе с графиками.

Итог: какую формулу выбрать

Чтобы правильно выбрать способ вычисления площади, следует учитывать доступные данные:

• Если известны все стороны — формула Герона.
• Если известна высота — классическая школьная формула.
• Если есть две стороны и угол — формула с синусом.
• Для равностороннего — с корнем из трёх.
• По координатам — аналитическая формула.
• Если известен радиус вписанной или описанной окружности — специализированные зависимости.

Эти формулы пригодятся не только при решении задач в школе или вузе, но и в инженерной практике, черчении, строительстве или даже в программировании графики.